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In caduta libera
La sottile uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale
di Francesco Fidecaro

“…cascai in opinione, che se si levasse totalmente la resistenza del mezzo, tutte le materie discenderebbero con eguali velocità”. Questa è la tesi che Salviati espone durante la prima giornata dei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze di Galileo Galilei pubblicati nel 1638. Salviati sfrutta con argomentazioni ineccepibili le sue osservazioni del moto dei corpi nelle più svariate circostanze e giunge a descrivere l’esito dell’esperimento che propone. Non risulta che l’esperimento si sia effettivamente svolto, anche se così vuole la leggenda. Oggi l’osservazione dell’universalità della caduta dei corpi è spiegata usando le leggi della meccanica, pubblicate da Isaac Newton nei suoi Principia circa cinquant’anni dopo i Discorsi. I Principia dicono da una parte che, per ottenere una data accelerazione, la forza da applicare è proporzionale alla massa inerziale; dall’altra che la gravitazione universale, dedotta sempre da Newton dallo studio del moto dei pianeti, si traduce in una forza di gravità proporzionale alla massa gravitazionale. Se varia la massa su cui agisce la forza di gravità, varia nella stessa misura anche la forza esercitata,
a.
L’esperimento più sensibile per verificare l’uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale è quello che misura la distanza tra la Terra e la Luna. I due corpi celesti hanno pesi diversi e sono entrambi in caduta libera verso il Sole. Sulla Luna è stato posizionato un riflettore che rimanda indietro un raggio laser proveniente dalla Terra e che permette di misurare la distanza Terra-Luna. Se vi fosse una differenza tra massa inerziale e massa gravitazionale, la distanza reciproca tra i due varierebbe in funzione della fase lunare (linea rosa); non si osserva invece alcuna variazione della distanza al variare della fase lunare (linea blu)
ma l’accelerazione di caduta rimane la stessa, se le due masse sono uguali. L’universalità della caduta dei corpi, quindi, implica l’uguaglianza tra massa gravitazionale e massa inerziale: si parla semplicemente di massa. Quest’uguaglianza (sancita dal principio di equivalenza) colpì Einstein, che immaginò un ascensore in grado di accelerare come se fosse in caduta libera. Se tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, nell’ascensore non si osserva più l’effetto della gravità, che viene cancellata. Benché possa sembrare un esperimento irrealizzabile, è quello che succede in un’astronave nella quale l’assenza di peso non è dovuta alla lontananza dalla Terra, ma proprio al fatto che sia il laboratorio (l’astronave) sia i corpi in esso contenuti sono tutti sottoposti alla stessa accelerazione, ossia tutto è “in caduta libera”. La questione è intrigante e sono stati fatti numerosi esperimenti alla ricerca di una differenza nella caduta dei corpi. Galileo discute di palle di artiglieria, lacrime di piombo, vesciche riempite d’aria. In esperimenti successivi sono state usate masse composte da singoli elementi, come l’oro oppure l’alluminio, mentre le tecniche diventavano sempre più raffinate. In questo modo si è concluso che massa gravitazionale e massa inerziale risultano uguali con una precisione di una parte su 1012 (ovvero che per mille tonnellate la differenza tra le due masse è al più un milligrammo). A oggi l’esperimento più sensibile è quello che misura la distanza tra la Terra e la Luna: entrambe sono in orbita solare, quindi in perenne caduta libera verso il Sole! Una differenza di caduta apparirebbe come una variazione di distanza sincronizzata con le fasi della Luna. L’esperimento Lunar Laser Ranging sfrutta tre riflettori lasciati sulla Luna durante le missioni dell’Apollo (XI, XIV e XV) a partire dal 1969. I riflettori rimandano indietro un raggio laser proveniente dalla Terra (vd. fig. a). Misurando il tempo di andata e ritorno si ottiene la distanza percorsa con la precisione del centimetro. La misura continua ancora e a oggi la precisione ottenuta sull’uguaglianza tra massa gravitazionale e massa inerziale è 10 volte migliore di quella degli esperimenti terrestri.

b.
Il riflettore installato dagli astronauti della missione
Lunar Laser Ranging dell’Apollo XI sulla Luna.

Gli esperimenti ci dicono quindi che massa gravitazionale e inerziale sono uguali. In fisica, un’uguaglianza verificata con altissima precisione suggerisce di cercare un meccanismo che renda “naturale” la similitudine dei moti. Ma che cosa hanno in comune tanti corpi diversi in movimento sotto l’effetto della gravitazione? Anche la forza gravitazionale è diversa per ciascuno di loro, ma lo spazio che li circonda è lo stesso per tutti. Attribuire gli effetti della gravitazione alle proprietà dello spazio (cui occorre aggiungere anche il tempo) e non ai corpi stessi assicurerebbe che la caduta libera sia identica per tutti. In che modo possiamo attribuire allo spaziotempo proprietà gravitazionali? Esso ha proprietà geometriche che vengono riassunte attraverso la possibilità di conoscere la distanza tra due punti qualsiasi, ovvero conoscere la “metrica”. Nello spazio a noi consueto è valida la geometria euclidea, la metrica è espressa dal teorema di Pitagora e si parla di uno spazio “piatto”. Nel XIX secolo, Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann e altri matematici mostrarono che vi possono essere altre geometrie oltre alla euclidea, individuando spazi matematici “curvi”. Se lo spaziotempo fisico fosse curvo, questa potrebbe essere la caratteristica che determina in uguale modo il moto di qualsiasi corpo in caduta libera. Questo salto vertiginoso, da spazio piatto a curvo, è stato fatto da Einstein quando ha formulato nel 1916 la teoria generale della relatività, finora la migliore teoria per descrivere i fenomeni gravitazionali. Salviati, Sagredo e Simplicio non potevano immaginare che la “uguale” velocità, ovvero l’uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, avrebbe portato a una revisione così drastica della concezione dello spazio e del tempo.

c.
Rappresentazione bidimensionale dello spaziotempo curvo intorno alla Terra. La Luna risente della curvatura dello spazio prodotta dalla Terra e incurva a sua volta lo spazio circostante.

 

Biografia
Francesco Fidecaro insegna fisica generale ed è direttore del Dipartimento di Fisica “Enrico Fermi” dell’Università di Pisa. Allievo della Scuola Normale Superiore, si è laureato nel 1978. Ha partecipato allo sviluppo degli esperimenti Framm-Na1 e Aleph al Cern e all’analisi dei dati raccolti per lo studio dei decadimenti di particelle pesanti per interazione debole. È stato responsabile scientifico della collaborazione Virgo, l’interferometro per la ricerca delle onde gravitazionali.

 


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